摘要：鋰離子電池機(jī)理模型精度高，可以揭示試驗所無法描述的電池內(nèi)部信息，對電池的老化研究、故障診斷和電池管理系統(tǒng)的設(shè)計具有重要意義。為解決模型計算復(fù)雜、易受溫度影響的問題，提出一種耦合溫度的建模方法。本文提出的模型以單粒子模型為基礎(chǔ)：首先采用二參數(shù)拋物線法簡化固相擴(kuò)散方程，采用拋物線輪廓-有限差分結(jié)合法簡化液相擴(kuò)散方程，化偏微分方程為常微分方程；而后建立包含固、液相歐姆定律與固體電解質(zhì)（SEI）膜極化用途的端電壓表達(dá)式；針對恒流與復(fù)雜工況，采用集總模型法或中心差分法計算熱模型中電池的平均溫度；熱模型與機(jī)理模型計算出的產(chǎn)熱量相關(guān)，機(jī)理模型中的電化學(xué)參數(shù)受熱模型得到的溫度影響，熱模型與機(jī)理模型耦合。結(jié)果表明：在恒流工況，耦合溫度的簡化模型比單粒子模型的溫度值更準(zhǔn)確，比不考慮溫度的簡化模型的電壓值更準(zhǔn)確；在高倍率復(fù)雜工況下，模型精度良好。在1C、2C、4C恒流放電工況下，電池端電壓、溫度的均方根誤差不超過0.041、0.66；在城市道路循環(huán)工況下，電池的端電壓、溫度的絕對百分比誤差不超過1%和0.15%。

關(guān)鍵詞：鋰離子電池；電化學(xué)簡化；溫度影響；仿真試驗；動態(tài)參數(shù)

在環(huán)境污染和能源緊缺的問題下，電動汽車發(fā)展迅速。鋰離子電池有比能量高、循環(huán)壽命長、荷電保持能力強(qiáng)等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于純電動汽車與混合動力汽車中。常用的鋰離子電池模型有等效電路相關(guān)相關(guān)經(jīng)驗?zāi)Ｐ?equivalentcircuitmodel，ECM)與機(jī)理模型(也稱電化學(xué)模型)。前者因模型簡單計算快捷而被廣泛應(yīng)用，但可供應(yīng)信息量少，局限性較大；機(jī)理模型能夠描述電池內(nèi)部電化學(xué)信息與外特性，但過程復(fù)雜、計算耗時，不宜在工程中使用。

目前最流行的機(jī)理模型是Doyle等提出的偽二維(pseudotwo-dimensional，P2D)模型，該模型包含多個偏微分方程，有較高的仿真精度，然而計算耗時限制了其實際應(yīng)用，電化學(xué)模型的簡化成為了熱點；模型精度也受電池工作時電芯溫度變化的影響，故建模不可忽略。Zhang等提出了單粒子(singleparticle，SP)模型，忽略液相鋰離子濃度變化，大大降低了運(yùn)算時間，但只適用于低倍率條件；Subramanian等提出了拋物線輪廓近似法降階固相偏微分方程，使運(yùn)算時間降為P2D模型的百分之一；Guo等在單粒子的基礎(chǔ)上考慮溫度影響，應(yīng)用牛頓冷卻定律研究了圓柱電池的溫升，最大放電電流僅為1C；Tanim等運(yùn)用Pade逼近法，給出頻域范圍端電壓與輸入電流的關(guān)系，提出了擴(kuò)展單粒子(extendsingleparticle，ESP)模型，并未測試復(fù)雜工況。國內(nèi)學(xué)者也有相關(guān)研究，呂超等完成了熱耦合-單粒子模型的簡化，最大放電電流為2C；劉征宇等運(yùn)用平均化動力學(xué)法簡化液相擴(kuò)散過程，但沒有考慮溫度對模型的影響。

現(xiàn)階段建立的全階電化學(xué)模型精度高，計算時間長；而一些簡化模型在高倍率與復(fù)雜工況下的精度較低，比如單粒子模型；電池的溫度變化對模型的影響不可忽略。綜上，本文提出一種耦合溫度影響的電化學(xué)簡化(temperaturecoupledsimplifiedpseudotwo-dimensional，TCSP2D)模型，以單粒子模型為基礎(chǔ)，通過拋物線輪廓法，在時間域一階差分簡化液相擴(kuò)散偏微分方程為常微分方程，并綜合固、液、SEI膜的歐姆極化過電勢、反應(yīng)極化過電勢、濃度差極化過電勢，提出簡化偽二維(simplifiedpseudotwo-dimensional，SP2D)模型。針對簡單的恒流工況，電池的平均溫度通過集總模型法計算；而對復(fù)雜工況采用二階中心差分法計算，此過程為電池充放電的熱模型部分。簡化模型與熱模型中的部分變量耦合，TCSP2D模型建立，最后從運(yùn)算時間與模型精度兩方面驗證該模型在恒流、城市道路循環(huán)(urbandynamometerdrivingschedule，UDDS)工況下的溫度、電壓性能。

1鋰離子電池電化學(xué)-熱模型

下述的電化學(xué)模型用來描述單體電池內(nèi)部的反應(yīng)過程，可以計算電池體的產(chǎn)熱速率；熱模型可以描述電池體的熱傳導(dǎo)過程，計算電池體的溫度。

1.1 偽二維模型

偽二維模型將正負(fù)極的活性物質(zhì)視為均勻球體。如圖1所示，可以將電芯分為5個部分：正極集流體、正極區(qū)域、隔膜、負(fù)極區(qū)域和負(fù)極集流體。由于沿著x方向與球體半徑r方向有兩個維度，故稱為偽二維模型。

圖1鋰離子電池微觀結(jié)構(gòu)

鋰離子的擴(kuò)散、遷移過程可以用偏微分方程描述，按原理可分為7類，具體的控制方程見表1。給定輸入電流，即可得到端電壓、鋰離子濃度等值，由于偽二維模型經(jīng)過充分的測試和研究，在沒有試驗測量數(shù)據(jù)的時候，一般將偽二維模型的仿真結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)值。本文的靜態(tài)參數(shù)見表2，動態(tài)參數(shù)見表3，參數(shù)均來源于文獻(xiàn)[14-16]。

表1偽二維模型控制方程及原理

表2機(jī)理模型參數(shù)

表3機(jī)理模型動態(tài)參數(shù)

1.2 熱模型

根據(jù)電池的產(chǎn)熱類型，電芯的產(chǎn)熱可分為可逆熱與不可逆熱，根據(jù)能量守恒定律，電芯的產(chǎn)熱使得電池溫度上升，符合以下公式

電池?zé)崮Ｐ蛥?shù)已做平均化處理，見表4。

表4熱模型參數(shù)

2耦合模型簡化

本文假設(shè)正-負(fù)極各處反應(yīng)離子通量為定值。圖2為建模的整體思路。

圖2TCSP2D模型

本文采用二參數(shù)拋物線近似法簡化固相鋰離子濃度；液相鋰離子濃度分正負(fù)極與隔膜三個部分，經(jīng)過對COMSOL仿真結(jié)果的觀察，液相濃度在各部分均為拋物線型；電池的端電壓分開路電壓、反應(yīng)極化電壓、濃度差極化電壓與歐姆極化電壓四個部分。在恒流工況下，電池的溫度可采用集總模型+牛頓冷卻定律近似估計；在復(fù)雜工況下，忽略電池厚度方向溫度的變化，在電池邊界添加傳感器測量溫度，利用中心差分法來估計電池中間點溫度，并求取整體溫度的平均值。

2.1 端電壓表達(dá)式

正負(fù)極集流體邊界處的離子通量如式(18)所示：

根據(jù)B-V方程，求解過電勢差

2.2 固相鋰離子濃度簡化

根據(jù)式(1)，正負(fù)極顆粒中鋰離子濃度分布沿半徑方向分布為拋物線型，設(shè)固相鋰離子濃度表達(dá)式為二參數(shù)型

電化學(xué)計量數(shù)與固相表面鋰離子濃度相關(guān)，會影響平衡電位、正極電化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)、正極固相擴(kuò)散系數(shù)等，是電化學(xué)模型中方程之間的一個耦合量。

2.3 液相鋰離子濃度簡化

液相鋰離子濃度在各區(qū)域滿足不同的控制方程，如下

式(32)～(34)中，假設(shè)在t時刻，沿著x方向，方程左側(cè)的鋰離子濃度變化量為常數(shù)，方程右側(cè)鋰離子濃度沿著x方向分布的二階導(dǎo)數(shù)為常值，故此微分方程為拋物線型，根據(jù)邊界條件式(35)、式(36)，在正極右端點與負(fù)極左端點處鋰離子濃度變化量為0，即濃度的一階導(dǎo)數(shù)為0，可以將鋰離子濃度ce(x,t)分段為以下持續(xù)的分段函數(shù)

而根據(jù)物質(zhì)守恒定律，在不考慮反應(yīng)過程中正負(fù)極受到破壞的特殊情況下，鋰離子總量是守恒的，鋰離子在3個區(qū)域內(nèi)移動，可以計算得到每個區(qū)域的鋰離子總量

至此，端電壓表達(dá)式(25)中的所有變量均已求出，在不考慮溫度影響的情況下，簡化的電化學(xué)模型搭建完成。

2.4 熱模型簡化

Forgez等分析軟包鋰離子電池在高倍率工況會出現(xiàn)內(nèi)部溫差較大的情況，集總模型不適合求解，溫升受散熱系數(shù)、放電倍率的影響。但根據(jù)本文模型計算，在恒流情況下，大型軟包電池使用集總模型相對準(zhǔn)確，但在復(fù)雜工況表現(xiàn)不佳。

圖3為軟包鋰離子電池的三維結(jié)構(gòu)，上述的簡化模型與電芯溫度相關(guān)。由于極耳面積相對較小，為計算方便，本文在計算產(chǎn)熱時考慮極耳發(fā)熱，忽略極耳散熱。

圖3軟包鋰離子電池三維結(jié)構(gòu)

電池厚度z有關(guān)長寬可忽略不計，圖3中的三維電池模型可簡化為圖4中的平面模型，假設(shè)電池散熱條件一致，電池的溫度場呈對稱分布，由于電化學(xué)模型中要的是電芯的平均溫度，本文再做一次簡化，電池平均溫度可化為：過O兩條中心線的一維熱模型所求出各點溫度的平均解。

圖4溫度模型簡化

2.5 模型耦合

以鋰離子電池的負(fù)極為例，電壓模型中的固相擴(kuò)散系數(shù)Ds,an與電化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)kan是動態(tài)變化的，與2.4節(jié)計算出的平均溫度T相關(guān)；固相擴(kuò)散系數(shù)與電化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)會影響電池的總產(chǎn)熱量，直接影響溫度變化，熱模型與電壓模型耦合，正極同理。

3仿真驗證及分析

本文選用容量為20A·h的軟包磷酸鐵鋰離子電池，上限電壓3.65V，下限電壓2.3V，電池長、寬、厚度分別為150mm、200mm、8mm。仿真電腦配置：AMD2700處理器，內(nèi)存16GB。本文以COMSOL軟件中P2D-熱模型的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計2組比較試驗：①不考慮溫度的SP2D模型與考慮溫度的TCSP2D模型在不同倍率、恒流工況的電壓比較；②考慮溫度的SP模型與TCSP2D模型在不同初始溫度、相同放電倍率的溫度比較。試驗2中的SP模型忽略液相濃度影響，端電壓表達(dá)式不如TCSP2D模型詳盡，故只比較溫度。

圖5是初始溫度為25℃、不同倍率、恒流放電工況的電壓比較，可以看出，TCSP2D模型更加接近P2D模型電壓曲線。電化學(xué)模型中的擴(kuò)散系數(shù)、電化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)與溫度系數(shù)都會對端電壓出現(xiàn)影響，SP2D默認(rèn)這些量為初始溫度下的常值，故會出現(xiàn)偏差。

圖51C、2C、4C恒流放電電壓

表5展示了兩種模型與P2D模型端電壓的均方根誤差(rootmeansquareerror，RMSE)，可以看出TCSP2D模型在計算精度上有一定提升。

表5不同放電倍率電池電壓的均方根比較

圖6為初始溫度為10℃、15℃、20℃，4C恒流放電的溫度曲線，TCSP2D模型與P2D模型的平均溫度更加接近；SPM沒有考慮固液相歐姆熱以及液相電勢差產(chǎn)熱，產(chǎn)熱量有所下降；而TCSP2D模型忽略了濃度差極化的產(chǎn)熱量，影響較小，誤差相對較低。

圖610℃、15℃、20℃4C恒流放電下電池平均溫度

表6記錄了在考慮溫度的兩種動態(tài)模型與P2D模型的均方根誤差，在計算電池平均溫度方面，TCSP2D誤差較小，性能有一定提升。

表6不同初始溫度下4C恒流放電RMSE比較

表7記錄了3種模型單次、完整的4C恒流放電的運(yùn)算時間，忽略了網(wǎng)格劃分、復(fù)雜微分方程耦合等問題，簡化模型的計算速度遠(yuǎn)快于COMSOL軟件中的P2D模型。

表7模型運(yùn)算時間比較

綜上所述，SP模型最簡單，計算速度最快；P2D模型計算最準(zhǔn)確，耦合熱模型更費時；TCSP2D模型運(yùn)算在高倍率放電下精度較高，運(yùn)算時間大大減小，有關(guān)投入到實際應(yīng)用中非常有意義。

此外，本文測試了單次城市道路循環(huán)工況，峰值電流超過7C，取電池初始SOC=0.75，圖7為兩模型的端電壓、電池平均溫度曲線。

圖7UDDS工況電壓、平均溫度比較

圖8記錄了TCSP2D模型較P2D模型的電壓、平均溫度的絕對百分比誤差(absolutepercentageerror，APE)曲線。

圖8UDDS工況電壓、平均溫度絕對百分比誤差比較

有關(guān)復(fù)雜工況，基于有限差分法的TCSP2D模型的端電壓絕對百分比誤差不超過1%，溫度絕對百分比誤差不超過0.15%，在大電流沖擊下該模型依然有效且穩(wěn)定。

4結(jié)論

（1）本文提出耦合溫度影響的TCSP2D模型，對電池的端電壓做了細(xì)致的分解，考慮不同極化對電壓的影響，并把電化學(xué)參數(shù)與溫度耦合，通過全代數(shù)表達(dá)式快速計算電池平均溫度與端電壓，可在線運(yùn)行，可求解每一點每一時刻的鋰離子濃度，如有需求可以擴(kuò)展添加與電池老化相關(guān)的參數(shù)。

（2）仿真驗證的結(jié)果表明，本文提出的TCSP2D模型相比于SPM與SP2D模型運(yùn)算精度更高，相較于P2D模型運(yùn)算速度更快，具有準(zhǔn)確、高效、可在線運(yùn)行的優(yōu)點。

(3)該模型可以為電池管理系統(tǒng)中考慮溫度影響的荷電狀態(tài)(stateofcharge，SOC)估計供應(yīng)支持，下一步的工作重心為在該模型的基礎(chǔ)上結(jié)合具體試驗，提出效果更好的SOC在線估算方法。

第一作者：李旭昊（1996—），男，碩士研究生，研究方向為鋰離子電池建模仿真，E-mail：286165141@qq.com；

通訊作者：王冰川，特聘副教授，研究方向為系統(tǒng)建模與優(yōu)化，E-mail：bcwang@csu.edu.cn。